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Método Simplex.

Método Simplex (VIDEO)

PASOS DEL MÉTODO SIMPLEX.

1.-Transformar a la forma estándar convirtiendo las restricciones <= o >= en igualdades agregando variables de holgura o restando variables de exceso respectivamente.

2.- Determinar la solución básica basica(origen  (0,0)).
Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor mejore el valor de z cuando no existe esta situación llegamos a la solución óptima.

3.- Seleccionar la variable de salida de las variables básicas actuales.

4.- Determinar la nueva solución básica factible al hacer la variable de entrada en básica y la variable de salida en no básica ir al paso 3.


EJEMPLO:

Una empresa produce tres bienes cosméticos y tiene dos departamentos con la siguiente información:



|Depto   |Polvo para mejillas |Labiales  |Pintura de uñas |Disponibilidad en hrs|
| 1         |  4                          |   2         |   1                    |     48                      |
| 2         |  5                          |   3         |  1.5                  |     30                      |

|Utilidad | 60                         |   40       |   20                  |




Además se cuenta con una materia prima para su empaque de 2 unidades, 1.5 y 0.5 unidades para los tres bienes respectivamente (polvo, labiales y pintura). Teniendo una disponibilidad de 8 unidades.



PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.


xi: Cantidad de i a producir
i = [polvo para mejillas, labiales y pintura de uñas]

  Max z = 60X1+40X2+20X3                                                
       
           4x1 + 2x2 +X3         ≤ 48     <----| 
           5x1 + 3x2 + 1.5x3    ≤ 30     <----|--- Restricciones explícitas
           2x1 + 1.5x2 + 0.5x3  ≤ 8      <----|

           x1,x2,x3 ≥ 0   <---- Restricciones implícitas
         

FORMA ESTÁNDAR.

     
  Max z = 60 x1 + 40 x2 + 20 x3  
                                               
           z - 60 x1 - 40 x2 - 20 x3 = 0

           4 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 48
           5 x1 + 3 x2 + 1.5 x3 + x5 = 30  
           2 x1 + 1.5 x2 + 0.5 x3 + x6=8

           xi ≥ 0        i=1-6


TABLAS.

	Z	X1	X2	X3	X4	X5	X6	SOL
Zj-Cj	1	-60	-40	-20	0	0	0	0	RAZÓN
X4	0	4	2	1	1	0	0	48	12
X5	0	5	3	1.5	0	1	0	30	6
X6	0	2	1.5	0.5	0	0	1	8	4

	z	X1	X2	X3	X4	X5	X6	SOL
Zj-Cj	1	0	5	-5	0	0	30	240	RAZÓN
X4	0	0	-1	0	1	0	-2	32	0
X5	0	0	-0.75	0.25	0	1	-2.5	10	40
X1	0	1	0.75	0.25	0	0	0.5	4	16

	z	X1	X2	X3	X4	X5	X6	SOL
Zj-Cj	1	20	20	0	0	0	40	320
X4	0	0	-1	0	1	0	-2	32
X5	0	-1	-1.5	0	0	1	-3	6
X3	0	4	3	1	0	0	2	16

SOLUCIÓN.

x1=0               x4=32
x2=0               x5=6
x3=16             x6=0

Z=320

En la solución se observa que el producto en el que debemos invertir más es la pintura para uñas con una cantidad de 16 creando una ganancia de $320.00.

George Bernard Dantzig (1914 - 2005)

George Bernard Dantzig (1914 - 2004)

Fechas y lugares de Nacimiento y Muerte.

• Nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland Oregon, EEUU.
• Falleció el 13 de Mayo del 2005 en Stanford California.

Obras mas importantes de Dantzig.

• Linear Programming: Theory and Extensions.

Contribuciones.

• Creador del método SIMPLEX.
• Participo en la conjetura de Hirsch.
• Invento la Programación Lineal.

Biografía.

Fue un matemático reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland, Oregon, EEUU. Su padre era profesor de Matemáticas, se retiró dejando su puesto de Jefe del Departamento de Matemáticas en la Universidad de Maryland poco después de la Segunda Guerra Mundial. Su madre era una lingüista especializada en idiomas eslavos.

Dantzig se graduó de matemáticas en 1936 en la Universidad de Maryland donde enseñaba su padre. Obtuvo el Master en Ciencias en 1937 en la Universidad de Michigan. Éste no disfrutaba con las matemáticas puras, pues señalaba frecuentemente que sólo disfrutó de los cursos relacionados con estadísticas. Dantzig fue a Washington a trabajar como Junior Statiscian en el Bureau of Labor Statistics, labor que llevó a cabo desde 1937 hasta 1939. Comenzó a interesarse en los estudios de matemáticas al leer trabajos de uno de los fundadores de la teoría estadística, el polaco radicado en los Estados Unidos, Jerzy Neyman. En 1939 comenzó a trabajar como su asistente en los cursos que dictaba en Berkeley, mientras trabajaba en su doctorado.

Durante la II Guerra Mundial Dantzig dejó los estudios y pasó a trabajar de 1941 a 1946 en la llamada Combat Analysis Branch, de la Fuerza Área de los Estados Unidos, donde obtuvo reconocimientos por su labor. Su trabajo era coleccionar y analizar datos sobre misiones aéreas, efectividad de los bombardeos y pérdidas de aviones. Esta actividad era caracterizada por el desarrollo de planes minuciosos llamados “programas”.

Al final de la guerra George pasó a la Universidad de California en Berkeley, pero el Pentágono le hizo una oferta mejor pagada, así que se dedicó a la labor de mecanizar el proceso de planeamiento siendo Asesor Matemático en el Departamento de Defensa.

Es en 1947 que Dantzig hace su más famosa contribución: el Método Simplex de Optimización. Éste fue el resultado de una labor que buscaba simplificar los usuales métodos de planeamiento que utilizaban calculadoras de mesa. Le llamó “programación” por el término usado en el argot militar. Dantzig realizó la mecanización bajo el supuesto de que el programa poseía una estructura relativamente simple, desde el punto de vista matemático, llamado Modelo Lineal. Con su uso se lograba hacer los cómputos con mayor rapidez y exactitud.

El método desarrollado por Dantzig es catalogado como uno de los más importantes en toda la historia de las matemáticas aplicadas, pues por el uso del Simplex es posible tomar decisiones óptimas en muchas clases de problemas prácticos de gran complejidad.

Otro de sus grandes logros es la teoría de la dualidad, ideado conjuntamente con Fulkerson y Johnson en 1954 para resolver el paradigmático problema del Agente Viajero (resolviendo entonces problemas con 49 ciudades cuando, hoy día, mediante modernas implementaciones del método, se resuelven problemas con varios miles de ciudades y hasta un millón de nodos) es el precursor de los hoy utilísimos métodos de Branch-and Cut (Bifurcación y corte) tan utilizados en programación entera para resolver problemas de grandes dimensiones.

El 13 de Mayo de 2004, George Bernard Dantzig, murió a la edad de 90 años en su casa de Stanford debido a complicaciones con la diabetes y problemas cardiovasculares.


Referencias.

• "Palabra Nueva.net." Palabra Nueva. (Web). [15 Feb. 2013] http://www.palabranueva.net/contens/10/0001010.htm
• "Biografía De George Bernard Dantzig."  PHPSimplex. (Web) [15 Feb. 2013] http://www.phpsimplex.com/biografia_Dantzig.htm
• "Biografía De George Bernard Dantzig". La leyenda de Dantzig. (Web) [15 Feb 2013]
  http://gaussianos.com/la-leyenda-de-dantzig/

Ejemplo de Sistema (Mapa Mental)

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Karl Ludwing von Bertalaffy.

KARL LUDWING VON BERTALANFFY.

Fechas y lugares de nacimiento y muerte.

• Nació el 19 de Septiembre de 1901, en Atzgersdorf una pequeña villa cerca de Viena.
• Falleció el 12 de Junio de 1972 en Búfalo, Nueva York.

Obras de Bertalanffy.

• 1928, Kritische Theorie der Formbildung, Borntraeger
• 1930, Lebenswissenschaft und Bildung, Stenger, Erfurt 1930
• 1937, Das Gefüge des Lebens, Leipzig: Teubner
• 1940, Vom Molekül zur Organismenwelt, Potsdam: Akademische Verlagsgesellschaft Athenaion
• 1949, Das biologische Weltbild, Bern: Europäische Rundschau. In English: Problems of Life: An Evaluation of Modern Biological and Scientific Thought, New York: Harper, 1952
• 1953, Biophysik des Fliessgleichgewichts, Braunschweig: Vieweg. 2nd rev. ed. by W. Beier and R. Laue, East Berlin: Akademischer Verlag, 1977
• 1953, "Die Evolution der Organismen", in Schöpfungsglaube und Evolutionstheorie, Stuttgart: Alfred Kröner Verlag, pp 53-66
• 1959, Stammesgeschichte, Umwelt und Menschenbild, Schriften zur wissenschaftlichen Weltorientierung Vol 5. Berlin: Lüttke
• 1962, Modern Theories of Development, New York: Harper
• 1967, Robots, Men and Minds: Psychology in the Modern World, New York: George Braziller, 1969 hardcover.
• 1968, General System theory: Foundations, Development, Applications, New York: George Braziller, revised edition
• 1968, The Organismic Psychology and Systems Theory, Heinz Werner lectures, Worcester: Clark University Press
• 1975, Perspectives on General Systems Theory. Scientific-Philosophical Studies, E. Taschdjian (eds.) New York: George Braziller.
• 1981, A Systems View of Man: Collected Essays, editor Paul A. LaViolette, Boulder: Westview Press.

Su trabajo mas importante fue el que expone la Teoría General de los Sistemas, aquí los artículos donde habla de esta teoría:

• 1945, Zu einer allgemeinen Systemlehre, Blätter für deutsche Philosophie, 3/4. (Extracto en: Biologia Generalis, 19 (1949), 139-164
• 1950, An Outline of General System Theory, British Journal for the Philosophy of Science 1, p.139-164
• 1951, General system theory - A new approach to unity of science (Symposium), Human Biology, Dec 1951, Vol. 23, p. 303-361

Contribuciones.

• Tomó parte activa en los debates sobre reduccionismo.
• Constituyó una declaración temprana de una teoría holística de la vida y la naturaleza.
• Fue pionero en la concepción "organicista" de la biología.
• Encontró resistencia general en los biólogos experimentales que pretendían explicar los procesos de la vida mediante la investigación física y química de las leyes a niveles subcelulares.
• Y la mas importante creo la Teoría general de sistemas y definió lo que es un sistema.

Biografía de Karl Ludwing von Bertalanffy.

Karl Ludwig von Bertalanffy (19 de septiembre, 1901, Viena, Austria - 12 de junio, 1972, New York, Estados Unidos) fue un biólogo, reconocido por haber formulado la Teoría de sistemas. Ciudadano austríaco, trabajó mucho en los Estados Unidos, donde fue discriminado por no haberse querido presentar como víctima del nazismo, lo que le hizo volver a Europa. 

Nació el 19 de Septiembre de 1901, en Atzgersdorf una pequeña villa cerca de Viena y falleció el 12 de Junio de 1972 en Búfalo, Nueva York.

Fue instruido por tutores privados en su casa hasta los 10 años, edad a la que comenzó a recibir educación formal. Quizás en parte debido a este hecho, el pequeño Ludwig comenzó la escuela con muchas ventajas académicas. Esas ventajas fueron tales, que pudo aprobar sus exámenes con honores a pesar de una pobre atención a sus clases. Sus registros de atención reflejan deseos de continuar sus estudios en casa en lugar de gastar tiempo en ir a tomarlas.

De todos modos, su continuo estudio en casa tendió a perpetuar su superioridad intelectual.

Sus intereses se desarrollaron tempranamente y siempre fueron amplios. Ellos abarcaron desde experimentos hasta biología teórica, pasando por filosofía de las ciencias y del hombre, psicología y psiquiatría, teoría del simbolismo, historia y una gran variedad de problemas sociales. También un tópico arcano como el origen del servicio postal en la edad media. En la mayoría de los campos encarados, fue un verdadero pionero, con ideas que se adelantaban a las visiones dominantes de sus tiempos.

Resumen de la Teoría General de los Sistemas.

La teoría de sistemas(TS) es un ramo específico de la teoría general de sistemas (TGS).

La TGS surgió con los trabajos del alemán Ludwig von Bertalanffy, publicados entre 1950 y 1968. La TGS no busca solucionar problemas o intentar soluciones prácticas, pero sí producir teorías y formulaciones conceptuales que pueden crear condiciones de aplicación en la realidad empírica.

Los supuestos básicos de la TGS son:

1. Existe una nítida tendencia hacia la integración de diversas ciencias naturales y sociales.
2. Esa integración parece orientarse rumbo a un teoría de sistemas.
3. Dicha teoría de sistemas puede ser una manera más amplia de estudiar los campos no-físicos del conocimiento científico, especialmente en ciencias sociales.
4. Con esa teoría de los sistemas, al desarrollar principios unificadores que atraviesan verticalmente los universos particulares de las diversas ciencias involucradas, nos aproximamos al objetivo de la unidad de la ciencia.
5. Esto puede generar una integración muy necesaria en la educación científica.

La TGS afirma que las propiedades de los sistemas, no pueden ser descritos en términos de sus elementos separados; su comprensión se presenta cuando se estudian globalmente.

La TGS se fundamenta en tres premisas básicas:

1. Los sistemas existen dentro de sistemas: cada sistema existe dentro de otro más grande.
2. Los sistemas son abiertos: es consecuencia del anterior. Cada sistema que se examine, excepto el menor o mayor, recibe y descarga algo en los otros sistemas, generalmente en los contiguos. Los sistemas abiertos se caracterizan por un proceso de cambio infinito con su entorno, que son los otros sistemas. Cuando el intercambio cesa, el sistema se desintegra, esto es, pierde sus fuentes de energía.
3. Las funciones de un sistema dependen de su estructura: para los sistemas biológicos y mecánicos esta afirmación es intuitiva. Los tejidos musculares por ejemplo, se contraen porque están constituidos por una estructura celular que permite contracciones.

El interés de la TGS, son las características y parámetros que establece para todos los sistemas. Aplicada a la administración la TS, la empresa se ve como una estructura que se reproduce y se visualiza a través de un sistema de toma de decisiones, tanto individual como colectivamente.

Desde un punto de vista histórico, se verifica que:

• La teoría de la administración científica usó el concepto de sistema hombre-máquina, pero se limitó al nivel de trabajo fabril.
• La teoría de las relaciones humanas amplió el enfoque hombre-máquina a las relaciones entre las personas dentro de la organización. Provocó una profunda revisión de criterios y técnicas gerenciales.
• La teoría estructuralista concibe la empresa como un sistema social, reconociendo que hay tanto un sistema formal como uno informal dentro de un sistema total integrado.
• La teoría del comportamiento trajo la teoría de la decisión, donde la empresa se ve como un sistema de decisiones, ya que todos los participantes de la empresa toman decisiones dentro de una maraña de relaciones de intercambio, que caracterizan al comportamiento organizacional.
• Después de la segunda guerra mundial, a través de la teoría matemática se aplicó la investigación operacional, para la resolución de problemas grandes y complejos con muchas variables.
• La teoría de colas fue profundizada y se formularon modelos para situaciones típicas de prestación de servicios, en los que es necesario programar la cantidad óptima de servidores para una esperada afluencia de clientes.

Las teorías tradicionales han visto la organización humana como un sistema cerrado. Eso a llevado a no tener en cuenta el ambiente, provocando poco desarrollo y comprensión de la retroalimentación (feedback), básica para sobrevivir.

El enfoque antiguo fue débil, ya que:

1. Trató con pocas de las variables significantes de la situación total.
2. Muchas veces se ha sustentado con variables impropias.

REFERENCIAS.

1. Karl Ludwing von Bertalanffy, (1901-1972). [En linea].

   "Ludwig von Bertalanffy". [Fecha de consulta: 09/02/2013]. Disponible en:

   http://www.tuprofesorvirtual.com/portal2/index.php/component/content/article/36-biografias/102-ludwig-von-bertalanffy
2. Karl Ludwing von Bertalanffy, (1901-1972). [En linea]. "VIDA Y OBRA DE KARL LUDWING VON BERTALANFFY". [Fecha de consulta: 09/02/2013]. Disponible en:http://organizacionesluislc.blogia.com/2010/082501-vida-y-obra-de-karl-ludwing-von-bertalanffy.php
3. Karl Ludwing von Bertalanffy, (1901-1972). [En linea]. "BCSSS. Bertalanffy Center for the Study of Systems Science". [Fecha de consulta: 09/02/2013]. Disponible en:http://www.bertalanffy.org/es/bertalanffy/achievements/
4. Karl Ludwing von Bertalanffy, (1901-1972). [En linea]. "Aportes de Ludwing Von Bertalanffy". [Fecha de consulta: 09/02/2013]. Disponible en:http://www.buenastareas.com/ensayos/Aportes-De-Ludwing-Von-Bertalanffy/3719640.html
5. Karl Ludwing von Bertalanffy, (1901-1972). [En linea]. "CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORIA GENERAL DE SISTEMAS". [Fecha de consulta: 09/02/2013]. Disponible en:http://fimyjemagi.wordpress.com/2008/04/25/conceptos-basicos-de-la-teoria-general-de-sistemas/